🧠 Trening 5: Mix Własności (Zapisz w postaci jednej potęgi)
Zbiór 20 mieszanych zadań. Uważaj na potęgę zerową, ukryte jedynki i prawidłową kolejność wykonywania działań (najpierw nawiasy!). Wynik podaj jako jedną potęgę.
Zadanie 1
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{5^4 \cdot 5 \cdot 5^0}{5^2} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{5^4 \cdot 5^1 \cdot 1}{5^2} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{5^5}{5^2} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 5^3 \]
Wskazówka: Pamiętaj: 5 to 5^1, a 5^0 to 1.
Zadanie 2
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{2^8 \cdot 2^0 \cdot 2}{2^5} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{2^8 \cdot 1 \cdot 2^1}{2^5} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{2^9}{2^5} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 2^4 \]
Zadanie 3
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{10^6 \cdot 10^0 \cdot 10}{10^4} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{10^6 \cdot 1 \cdot 10^1}{10^4} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{10^7}{10^4} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 10^3 \]
Zadanie 4
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{7^9 \cdot 7 \cdot 7^0}{7^8} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{7^9 \cdot 7^1 \cdot 1}{7^8} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{7^{10}}{7^8} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 7^2 \]
Zadanie 5
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{6^{12} \cdot 6^0 \cdot 6}{6^{10}} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{6^{12} \cdot 1 \cdot 6^1}{6^{10}} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{6^{13}}{6^{10}} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 6^3 \]
Zadanie 6
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ 0{,}2^4 \cdot ((0{,}2)^2)^3 : 0{,}2^5 \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ 0{,}2^4 \cdot 0{,}2^6 : 0{,}2^5 \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ 0{,}2^{10} : 0{,}2^5 \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 0{,}2^5 \]
Wskazówka: Najpierw potęga potęgi (mnożymy 2 i 3), potem po kolei od lewej dodajemy i odejmujemy wykładniki.
Zadanie 7
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ 4^7 \cdot (4^2)^4 : 4^{10} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ 4^7 \cdot 4^8 : 4^{10} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ 4^{15} : 4^{10} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 4^5 \]
Zadanie 8
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ 0{,}3^5 \cdot ((0{,}3)^4)^2 : 0{,}3^8 \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ 0{,}3^5 \cdot 0{,}3^8 : 0{,}3^8 \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ 0{,}3^{13} : 0{,}3^8 \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 0{,}3^5 \]
Zadanie 9
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ 1{,}5^3 \cdot ((1{,}5)^3)^3 : 1{,}5^{10} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ 1{,}5^3 \cdot 1{,}5^9 : 1{,}5^{10} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ 1{,}5^{12} : 1{,}5^{10} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 1{,}5^2 \]
Zadanie 10
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ 2{,}1^6 \cdot ((2{,}1)^2)^5 : 2{,}1^{12} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ 2{,}1^6 \cdot 2{,}1^{10} : 2{,}1^{12} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ 2{,}1^{16} : 2{,}1^{12} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 2{,}1^4 \]
Zadanie 11
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{(x^4)^2 \cdot x \cdot x^3}{x^{10} : x^2} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{x^8 \cdot x^1 \cdot x^3}{x^8} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{x^{12}}{x^8} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = x^4 \]
Wskazówka: Najpierw uporządkuj licznik i mianownik. Na dole wykonaj dzielenie (odejmij).
Zadanie 12
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{(y^5)^3 \cdot y \cdot y^2}{y^{15} : y^5} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{y^{15} \cdot y^1 \cdot y^2}{y^{10}} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{y^{18}}{y^{10}} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = y^8 \]
Zadanie 13
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{(c^2)^4 \cdot c \cdot c^5}{c^9 : c^3} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{c^8 \cdot c^1 \cdot c^5}{c^6} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{c^{14}}{c^6} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = c^8 \]
Zadanie 14
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{(k^3)^3 \cdot k \cdot k^4}{k^{11} : k^4} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{k^9 \cdot k^1 \cdot k^4}{k^7} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{k^{14}}{k^7} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = k^7 \]
Zadanie 15
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{(p^5)^2 \cdot p \cdot p^6}{p^{14} : p^7} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{p^{10} \cdot p^1 \cdot p^6}{p^7} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{p^{17}}{p^7} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = p^{10} \]
Zadanie 16
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{(a^0)^5 \cdot (a^{10})^0}{((a^5)^2 : a^3)^0} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{1 \cdot 1}{1} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{1}{1} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 1 \text{ (czyli } a^0) \]
Wskazówka: Cokolwiek podniesione do potęgi zerowej (oprócz zera) to zawsze 1. Cały ten ułamek to po prostu zbiór jedynek!
Zadanie 17
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{(z^0)^3 \cdot z^0}{((z^4)^4)^0} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{1 \cdot 1}{1} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{1}{1} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 1 \text{ (czyli } z^0) \]
Zadanie 18
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{(m^0)^7 \cdot (m^2)^0}{(m^{12})^0} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{1 \cdot 1}{1} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{1}{1} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 1 \text{ (czyli } m^0) \]
Zadanie 19
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{(b^0)^{10} \cdot (b^5)^0}{((b^2)^6)^0} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{1 \cdot 1}{1} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{1}{1} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 1 \text{ (czyli } b^0) \]
Zadanie 20
Zapisz w postaci jednej potęgi:
\[ \frac{(w^0)^9 \cdot (w^{20})^0}{(w^{15} : w^5)^0} \]
Pokaż rozwiązanie
1. Upraszczamy wyrażenia (potęga potęgi, zera, jedynki):
\[ \frac{1 \cdot 1}{1} \]
2. Wykonujemy działania w liczniku i mianowniku:
\[ \frac{1}{1} \]
3. Wynik ostateczny:
\[ = 1 \text{ (czyli } w^0) \]