🏋️ Trening 3: Potężne Ułamki
Rozwiąż poniższe wyrażenia sprowadzając je do najprostszej postaci. W każdym z nich ukryty jest inny wynik!
Przykład 1
Wyrażenie \(\displaystyle \frac{(c^4)^3 \cdot c^2}{(c^5)^2}\) można zapisać w postaci:
1. Podnosimy potęgi do potęgi (mnożymy wykładniki nawiasów):
\[ \frac{c^{12} \cdot c^2}{c^{10}} \]
2. Wykonujemy mnożenie w liczniku (dodajemy wykładniki):
\[ \frac{c^{14}}{c^{10}} \]
3. Dzielimy ułamek (odejmujemy dół od góry):
\[ c^4 \]
Przykład 2
Wyrażenie \(\displaystyle \frac{(x^2)^5 \cdot x}{(x^3)^3}\) można zapisać w postaci:
1. Podnosimy potęgi do potęgi (mnożymy wykładniki nawiasów):
\[ \frac{x^{10} \cdot x^1}{x^9} \]
2. Wykonujemy mnożenie w liczniku (dodajemy wykładniki):
\[ \frac{x^{11}}{x^9} \]
3. Dzielimy ułamek (odejmujemy dół od góry):
\[ x^2 \]
Przykład 3
Wyrażenie \(\displaystyle \frac{(a^6)^2 \cdot a^3}{(a^5)^3}\) można zapisać w postaci:
1. Podnosimy potęgi do potęgi (mnożymy wykładniki nawiasów):
\[ \frac{a^{12} \cdot a^3}{a^{15}} \]
2. Wykonujemy mnożenie w liczniku (dodajemy wykładniki):
\[ \frac{a^{15}}{a^{15}} \]
3. Dzielimy ułamek (odejmujemy dół od góry):
\[ a^0 = 1 \]
Wskazówka: Gdy licznik i mianownik są identyczne, wynik to zawsze 1.
Przykład 4
Wyrażenie \(\displaystyle \frac{(y^3)^4 \cdot y^5}{(y^2)^8}\) można zapisać w postaci:
1. Podnosimy potęgi do potęgi (mnożymy wykładniki nawiasów):
\[ \frac{y^{12} \cdot y^5}{y^{16}} \]
2. Wykonujemy mnożenie w liczniku (dodajemy wykładniki):
\[ \frac{y^{17}}{y^{16}} \]
3. Dzielimy ułamek (odejmujemy dół od góry):
\[ y \]
Przykład 5
Wyrażenie \(\displaystyle \frac{(z^7)^2 \cdot z^7}{(z^3)^6}\) można zapisać w postaci:
1. Podnosimy potęgi do potęgi (mnożymy wykładniki nawiasów):
\[ \frac{z^{14} \cdot z^7}{z^{18}} \]
2. Wykonujemy mnożenie w liczniku (dodajemy wykładniki):
\[ \frac{z^{21}}{z^{18}} \]
3. Dzielimy ułamek (odejmujemy dół od góry):
\[ z^3 \]
Przykład 6
Wyrażenie \(\displaystyle \frac{(b^4)^4 \cdot b^0}{(b^2)^5}\) można zapisać w postaci:
1. Podnosimy potęgi do potęgi (mnożymy wykładniki nawiasów):
\[ \frac{b^{16} \cdot 1}{b^{10}} \]
2. Wykonujemy mnożenie w liczniku (dodajemy wykładniki):
\[ \frac{b^{16}}{b^{10}} \]
3. Dzielimy ułamek (odejmujemy dół od góry):
\[ b^6 \]
Wskazówka: Pamiętaj, że b^0 to 1, więc nie zmienia ono wyniku w mnożeniu.
Przykład 7
Wyrażenie \(\displaystyle \frac{(c^5)^4 \cdot c^5}{(c^{10})^2}\) można zapisać w postaci:
1. Podnosimy potęgi do potęgi (mnożymy wykładniki nawiasów):
\[ \frac{c^{20} \cdot c^5}{c^{20}} \]
2. Wykonujemy mnożenie w liczniku (dodajemy wykładniki):
\[ \frac{c^{25}}{c^{20}} \]
3. Dzielimy ułamek (odejmujemy dół od góry):
\[ c^5 \]
Przykład 8
Wyrażenie \(\displaystyle \frac{(m^2)^7 \cdot m^2}{(m^4)^2}\) można zapisać w postaci:
1. Podnosimy potęgi do potęgi (mnożymy wykładniki nawiasów):
\[ \frac{m^{14} \cdot m^2}{m^8} \]
2. Wykonujemy mnożenie w liczniku (dodajemy wykładniki):
\[ \frac{m^{16}}{m^8} \]
3. Dzielimy ułamek (odejmujemy dół od góry):
\[ m^8 \]
Przykład 9
Wyrażenie \(\displaystyle \frac{(k^8)^2 \cdot k^4}{(k^5)^2}\) można zapisać w postaci:
1. Podnosimy potęgi do potęgi (mnożymy wykładniki nawiasów):
\[ \frac{k^{16} \cdot k^4}{k^{10}} \]
2. Wykonujemy mnożenie w liczniku (dodajemy wykładniki):
\[ \frac{k^{20}}{k^{10}} \]
3. Dzielimy ułamek (odejmujemy dół od góry):
\[ k^{10} \]
Przykład 10
Wyrażenie \(\displaystyle \frac{(d^9)^2 \cdot d^3}{(d^6)^3}\) można zapisać w postaci:
1. Podnosimy potęgi do potęgi (mnożymy wykładniki nawiasów):
\[ \frac{d^{18} \cdot d^3}{d^{18}} \]
2. Wykonujemy mnożenie w liczniku (dodajemy wykładniki):
\[ \frac{d^{21}}{d^{18}} \]
3. Dzielimy ułamek (odejmujemy dół od góry):
\[ d^3 \]