🎯 Trening 16: Znoszące się pierwiastki
Gdy stopień pierwiastka jest taki sam jak potęga liczby pod nim, to one po prostu "zjadają" się nawzajem! Dodatkowo pamiętaj, że dowolny pierwiastek z jedynki to zawsze 1. Policz to w pamięci i sprawdź rozwiązanie.
Zadanie 1
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[3]{12^3} + \sqrt[17]{17^{17}} + 14 \cdot \sqrt[17]{1} \]
Pokaż rozwiązanie
Znosimy potęgi z pierwiastkami:
\[ = 12 + 17 + 14 \cdot 1 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 43 \]
Trik: Pierwiastek 3-go stopnia znosi się z potęgą 3, więc zostaje 12. Pierwiastek 17-go stopnia znosi się z potęgą 17, więc zostaje 17. Pierwiastek jakiegokolwiek stopnia z 1 to po prostu 1.
Zadanie 2
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[5]{7^5} - \sqrt[11]{11^{11}} + 5 \cdot \sqrt[4]{1} \]
Pokaż rozwiązanie
Znosimy potęgi z pierwiastkami:
\[ = 7 - 11 + 5 \cdot 1 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 1 \]
Trik: Znosimy potęgi i pierwiastki. Mamy: 7 - 11 + 5 = -4 + 5 = 1.
Zadanie 3
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[4]{10^4} + 3 \cdot \sqrt[9]{1} - \sqrt[100]{100^{100}} \]
Pokaż rozwiązanie
Znosimy potęgi z pierwiastkami:
\[ = 10 + 3 \cdot 1 - 100 \]
Ostateczny wynik:
\[ = -87 \]
Trik: Ogromny pierwiastek setnego stopnia z liczby do potęgi setnej to po prostu ta liczba (czyli 100). Mamy 10 + 3 - 100 = -87.
Zadanie 4
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[7]{2^7} \cdot \sqrt[3]{5^3} - \sqrt[20]{1} \]
Pokaż rozwiązanie
Znosimy potęgi z pierwiastkami:
\[ = 2 \cdot 5 - 1 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 9 \]
Trik: Najpierw potęgi znoszą się z pierwiastkami, dając 2 i 5. Mnożymy je (10) i odejmujemy pierwiastek z jedynki (1).
Zadanie 5
\[ \text{Oblicz: } 8 \cdot \sqrt[5]{1} + \sqrt[13]{13^{13}} - \sqrt[6]{2^6} \]
Pokaż rozwiązanie
Znosimy potęgi z pierwiastkami:
\[ = 8 \cdot 1 + 13 - 2 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 19 \]
Trik: Z pierwszego wyrazu zostaje 8, z drugiego 13, z trzeciego 2. Liczymy: 8 + 13 - 2 = 19.
Zadanie 6
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[99]{99^{99}} - 99 \cdot \sqrt[99]{1} \]
Pokaż rozwiązanie
Znosimy potęgi z pierwiastkami:
\[ = 99 - 99 \cdot 1 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 0 \]
Trik: Przerażający wygląd, ale banalne rozwiązanie! Z lewej zostaje 99, a z prawej 99 pomnożone przez 1. 99 - 99 = 0.
Zadanie 7
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[4]{3^4} + \sqrt[5]{4^5} + \sqrt[6]{5^6} \]
Pokaż rozwiązanie
Znosimy potęgi z pierwiastkami:
\[ = 3 + 4 + 5 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 12 \]
Trik: Każdy pierwiastek idealnie redukuje się ze swoją potęgą. Dodajemy 3, 4 i 5.
Zadanie 8
\[ \text{Oblicz: } 2 \cdot \sqrt[3]{10^3} - \sqrt[7]{1} + \sqrt[2]{8^2} \]
Pokaż rozwiązanie
Znosimy potęgi z pierwiastkami:
\[ = 2 \cdot 10 - 1 + 8 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 27 \]
Trik: Zwykły pierwiastek kwadratowy (bez wpisanego stopnia) to domyślnie stopień 2, więc znosi się z kwadratem! 20 - 1 + 8 = 27.
Zadanie 9
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[15]{15^{15}} \cdot \sqrt[3]{1} - \sqrt[8]{10^8} \]
Pokaż rozwiązanie
Znosimy potęgi z pierwiastkami:
\[ = 15 \cdot 1 - 10 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 5 \]
Trik: Lewa strona po skróceniu to 15 \cdot 1. Odejmujemy od tego 10 z drugiego pierwiastka.
Zadanie 10
\[ \text{Oblicz: } \sqrt[10]{5^{10}} + \sqrt[50]{1} - \sqrt[3]{6^3} \]
Pokaż rozwiązanie
Znosimy potęgi z pierwiastkami:
\[ = 5 + 1 - 6 \]
Ostateczny wynik:
\[ = 0 \]
Trik: Szybkie skracanie: 5 + 1 - 6 = 6 - 6 = 0.