🕵️ Trening 14: Liczenie Cyfr (Polowanie na dziesiątki)
Zadanie polega na tym, aby dowiedzieć się, ile cyfr w zapisie dziesiętnym ma podana liczba. Wykorzystaj wiedzę z Zadania 14: zamieniaj podstawy na 2 i 5, łącz w pary, stwórz potęgę liczby 10 i policz zera!
Wyzwanie 1
Ile cyfr ma poniższa liczba?
\[ 4^8 \cdot 5^{18} \]
Uruchom śledztwo (Pokaż rozwiązanie)
Krok 1: Sprowadzenie do podstawy 2 i 5
\[ 4 = 2^2 \implies (2^2)^8 = 2^{16} \]
Mamy więc wyrażenie: \[ 2^{16} \cdot 5^{18} \]
Krok 2: Łączenie w pary i rozbicie
\[ = 2^{16} \cdot 5^{16} \cdot 5^2 \]
Krok 3: Wyliczenie z przodu i dziesiątki z tyłu
\[ = (2 \cdot 5)^{16} \cdot 25 = 25 \cdot 10^{16} \]
Łączna ilość cyfr:
\[ = 2 + 16 = 18 \]
Podsumowanie: Liczba 25 ma 2 cyfry, a potęga 10^{16} daje nam 16 zer na końcu.
Wyzwanie 2
Ile cyfr ma poniższa liczba?
\[ 8^5 \cdot 5^{14} \]
Uruchom śledztwo (Pokaż rozwiązanie)
Krok 1: Sprowadzenie do podstawy 2 i 5
\[ 8 = 2^3 \implies (2^3)^5 = 2^{15} \]
Mamy więc wyrażenie: \[ 2^{15} \cdot 5^{14} \]
Krok 2: Łączenie w pary i rozbicie
\[ = 2^{14} \cdot 5^{14} \cdot 2^1 \]
Krok 3: Wyliczenie z przodu i dziesiątki z tyłu
\[ = (2 \cdot 5)^{14} \cdot 2 = 2 \cdot 10^{14} \]
Łączna ilość cyfr:
\[ = 1 + 14 = 15 \]
Podsumowanie: Tym razem to dwójek było więcej! Jedna "samotna" dwójka została bez pary (2^1 = 2). Daje nam to jedną cyfrę + 14 zer.
Wyzwanie 3
Ile cyfr ma poniższa liczba?
\[ 2^{20} \cdot 25^8 \]
Uruchom śledztwo (Pokaż rozwiązanie)
Krok 1: Sprowadzenie do podstawy 2 i 5
\[ 25 = 5^2 \implies (5^2)^8 = 5^{16} \]
Mamy więc wyrażenie: \[ 2^{20} \cdot 5^{16} \]
Krok 2: Łączenie w pary i rozbicie
\[ = 2^{16} \cdot 5^{16} \cdot 2^4 \]
Krok 3: Wyliczenie z przodu i dziesiątki z tyłu
\[ = (2 \cdot 5)^{16} \cdot 16 = 16 \cdot 10^{16} \]
Łączna ilość cyfr:
\[ = 2 + 16 = 18 \]
Podsumowanie: W tym przypadku musieliśmy zamienić podstawę z piątkami (25 na 5^2). Samotne cztery dwójki dały nam 2^4, czyli liczbę 16 (dwie cyfry).
Wyzwanie 4
Ile cyfr ma poniższa liczba?
\[ 16^4 \cdot 5^{19} \]
Uruchom śledztwo (Pokaż rozwiązanie)
Krok 1: Sprowadzenie do podstawy 2 i 5
\[ 16 = 2^4 \implies (2^4)^4 = 2^{16} \]
Mamy więc wyrażenie: \[ 2^{16} \cdot 5^{19} \]
Krok 2: Łączenie w pary i rozbicie
\[ = 2^{16} \cdot 5^{16} \cdot 5^3 \]
Krok 3: Wyliczenie z przodu i dziesiątki z tyłu
\[ = (2 \cdot 5)^{16} \cdot 125 = 125 \cdot 10^{16} \]
Łączna ilość cyfr:
\[ = 3 + 16 = 19 \]
Podsumowanie: 16 to po prostu 2^4. Trzy samotne piątki to 125, co daje nam aż 3 cyfry na początku i 16 zer.
Wyzwanie 5
Ile cyfr ma poniższa liczba?
\[ 4^{15} \cdot 5^{28} \]
Uruchom śledztwo (Pokaż rozwiązanie)
Krok 1: Sprowadzenie do podstawy 2 i 5
\[ 4 = 2^2 \implies (2^2)^{15} = 2^{30} \]
Mamy więc wyrażenie: \[ 2^{30} \cdot 5^{28} \]
Krok 2: Łączenie w pary i rozbicie
\[ = 2^{28} \cdot 5^{28} \cdot 2^2 \]
Krok 3: Wyliczenie z przodu i dziesiątki z tyłu
\[ = (2 \cdot 5)^{28} \cdot 4 = 4 \cdot 10^{28} \]
Łączna ilość cyfr:
\[ = 1 + 28 = 29 \]
Podsumowanie: Z 30 dwójek i 28 piątek stworzyliśmy 28 par. Zostały nam z przodu dwie dwójki (2^2 = 4), stąd wynik.