Zadania z Matematyki

Zadanie 14

Czy zapis dziesiętny liczby \(\displaystyle x = 4^{11} \cdot 5^{25}\) ma więcej niż 30 cyfr? Wybierz poprawną odpowiedź i poprawne uzasadnienie. Wstaw jeden znak X w jedno pole oznaczone kółkiem i jeden - w pole oznaczone kwadratem.

O TAK,

O NIE,

ponieważ

[ ] \(\displaystyle 4^{11} \cdot 5^{25} = 20^{36}\), a już \(\displaystyle 10^{36}\) ma ponad 40 cyfr.

[ ] \(\displaystyle 4^{11}\) ma 11 cyfr, a \(\displaystyle 5^{25}\) ma 25 cyfr, więc po pomnożeniu otrzymamy liczbę mającą 11 + 25 = 36 cyfr.

[ ] \(\displaystyle 4^{11} \cdot 5^{25} = (2^2)^{11} \cdot 5^{25} = 2^{22} \cdot 5^{25} = 5^3 \cdot 2^{22} \cdot 5^{22} = 125 \cdot 10^{22}\), a ten wynik ma mniej niż 30 cyfr.

[ ] \(\displaystyle 4^{11} \cdot 5^{25} = 4^{11} \cdot 5^{11} \cdot 5^{14} = 20^{11} = 7000\dots00\) (11 zer). Otrzymana liczba ma mniej niż 30 cyfr.

Rozwiązanie krok po kroku:

Krok 1: Szukamy dziesiątek

Naszym celem jest policzenie cyfr. Najłatwiej liczy się cyfry w potęgach liczby 10 (np. \(10^5\) to jedynka i pięć zer, czyli łącznie 6 cyfr). Aby stworzyć dziesiątkę, potrzebujemy pomnożyć 2 przez 5. Mamy już piątki (\(5^{25}\)), ale zamiast dwójek mamy czwórki (\(4^{11}\)). Zamieńmy więc czwórkę na dwójkę!

4 = 2^2 \quad \text{więc} \quad 4^{11} = (2^2)^{11} = 2^{22}

Teraz nasze początkowe wyrażenie \(4^{11} \cdot 5^{25}\) wygląda tak:

2^{22} \cdot 5^{25}

Krok 2: Łączymy dwójki i piątki w pary

Aby zrobić "dziesiątkę", potrzebujemy do pary jednej dwójki i jednej piątki. Mamy 22 dwójki i aż 25 piątek. Oznacza to, że możemy stworzyć maksymalnie 22 pary (zabraknie nam dwójek!). Trzy piątki zostaną bez pary.

Rozbijmy więc nasze \(5^{25}\) na dwie części: te pasujące do pary (\(5^{22}\)) i te "samotne" (\(5^3\)):

2^{22} \cdot \underbrace{5^{22} \cdot 5^3}_{\text{to jest } 5^{25}}

Krok 3: Wyliczamy wynik

Łączymy nasze 22 pary w dziesiątki, a samotne trzy piątki wyliczamy "na piechotę" (\(5^3 = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125\)):

(2 \cdot 5)^{22} \cdot 125 \quad = \quad 10^{22} \cdot 125 \quad = \quad 125 \cdot 10^{22}

Krok 4: Liczymy cyfry

Zastanówmy się, jak wygląda zapisana liczba \(125 \cdot 10^{22}\). Jest to liczba 125, do której musimy dopisać 22 zera na końcu:

125\underbrace{0000\dots000}_{22 \text{ zera}}

Podsumowując ilość znaków na kartce:

Liczba 125 zajmuje 3 cyfry.
Zera zajmują 22 cyfry.

3 + 22 = 25 \text{ cyfr}

Zadanie pyta, czy zapis ma więcej niż 30 cyfr. Nasza liczba ma 25 cyfr, więc jest to z pewnością mniej niż 30.

Odpowiedź: ⭕ NIE

Zaznaczamy uzasadnienie:
\[4^{11} \cdot 5^{25} = 5^3 \cdot 2^{22} \cdot 5^{22} = 125 \cdot 10^{22}\]